A. Steinove mnogoterosti in holomorfne preslikave

Obravnavali bomo naslednje sklope odprtih problemov o obstoju ter aproksimaciji in interpolaciji holomorfnih preslikav Steinovih mnogoterosti v splošnejše kompleksne mnogoterosti:

(1) Princip Oka-Grauert in holomorfna fleksibilnost kompleksnih mnogoterosti.

(2) Lokalno biholomorfne preslikave in holomorfni avtomorfizmi kompleksnih evklidskih prostorov.

(3) Holomorfne imerzije, submerzije in foliacije.

(4) Prave holomorfne preslikave in holomorfne vložitve

B. Analiza in geometrije psevdoholomorfnih krivulj v skoraj kompleksnih mnogoterostih. Raziskave nameravamo osredotočiti na naslednje sklope odprtih problemov.

(I) Naj bo E kompaktna povsem realna podmnogoterost v skoraj kompleksni mnogoterosti (M,J). Pod katerimi dodatnimi pogoji obstaja kompaktna Riemannova ploskev z robom, imerzirana v M z robom vsebovanim v podmnogooterosti E ? To je eno od fundamentalnih vprašanj kompleksne analize, ki je klasično povezano z vprašanji polinomske in racionalne konveksnosti, v zadnjem času pa je postalo še pomembnejše zaradi povezav s problemi v simplektični geometriji.

(II) Perturbacijska teorija skoraj kompleksnih diskov in krivulj v skoraj kompleksnih mnogoterostih.

(III) Obstoj Steinovih struktur v predpisanem homotopskem razredu na 4-dimenzionalnih gladkih mnogoterostih.

C. Izbrani problemi iz harmonične analize (v sodelovanju z dr. Oliverjem Dragičevićem)

(1) Izboljšava konstant v ocenah za norme iteracij Ahlfors-Beurlingovega operatorja.

(2) Raziskava Lp ocen za spektralne množitelje, izhajajoče iz Hermiteovega operatorja na prostorih poljubne dimenzije s poudarkom na absolutnih konstantah, neodvisnih od indeksa p in od dimenzije.

(3) Uporaba metode Bellmanovih funkcij za operatorje Laguerreove polgrupe. Tradicionalne metode delujejo le v določenih primerih, naša metoda pa se je doslej že izkazala za zelo široko uporabno, zato bi morda bilo smiselno z njo poskusiti tudi za Laguerrove operatorje.

(4) Študij eliptičnih diferencialnih operatorjev oz. Schrödingerjevih operatorjev.

(5) Obnašanje potenc Ahlfors-Beurlingovega operatorja.

D. Hamiltonski sistemi z visoko stopnjo simetrije (v sodelovanju z dr. Pavletom Saksido)

Obravnavali bomo naslednje štiri sklope matematično-fizikalnih problemov s področja teorije (modificiranih) hamiltonskih dinamičnih sistemov:

(1) Superpozicijska pravila pri nelinearnih integrabilnih parcialnih diferencialnih enačbah.

(2) Vpliv simetrije na transportne fenomene v klasični in kvantni statistični mehaniki (v sodelovanju s prof. dr. Tomažem Prosenom, Oddelek za Fiziko, Univerza v Ljubljani.)

(3) Teorija visoko-simetričnih modificiranih hamiltonskih sistemov.

(4) Algebraična geometrija singularnih lokusov integrabilnih sistemov.