Naj bo X metričen prostor. Za končno podmnožico A v X so poznani pogoji, pri katerih lahko izračunamo homologijo prostora X z uporabo Vietoris-Ripsovega ali Čechovega kompleksa A. Ti pogoji povezujejo lokalno ukrivljenost prostora z gostoto vzorca A in velikostnim parametrom, pri katerem zgradimo kompleks. Z uporabo vztrajne homologije lahko pri takem izračunu uporabimo šibkejše pogoje. Kljub temu je tudi v tem primeru poudarek na ustrezno majhnih parametrih, preko katerih lahko upoštevamo majhne detajle v prostoru.

S tem projektom predlagamo razširitev rekonstrukcijske teme z upoštevanjem vseh velikostnih parametrov, od majhnih preko srednjih do velikih. Naš predlog je motiviran z opažanjem, da se pomembne (a ne nujno lokalne) geometrijske značilnosti prostora odražajo v homologiji Vietoris-Ripsovih in Čechovih kompleksov. Kot primer omenimo sklenjene geodetke, ki včasih generirajo netrivialne dvo ali tridimenzionalne homološke razrede tudi v primeru, ko so same geodetke kontraktibilne. To pomeni, da prihaja do Hopfovega efekta: geometrijske značilnosti generirajo višjedimenzionalne algebrajske odtise. S tem projektom predlagamo študij teh efektov ter razvoj vztrajnega seznama, v katerem so opisani algebrajstki odtisi geometrijskih značilnosti ter metode za njihovo rekonstrukcijo.

V okviru projekta podamo konkretne metode ter korake potrebne pri razvoju omenjene teorije. Dve glavni orodji temeljita na uporabi kontrakcij in deformacijskih kontrakcij, z uporabo katerih lahko argumente algebrajske topologije uporabimo pri rekonstrukciji ustreznih podprostorov iz specifičnih vzorcev v homologiji. Argumenti sami vključujejo uporabo kombinatorike, diskretne geometrije in klasične topologije. Kot primer omenimo izračun enostavnih oblik, recimo sfer: za uspešno izvedbo takega izračuna moramo razumeti odprta pokritja teh oblik, ki izhajajo iz specifičnih konfiguracij končnih točk. Poleg tega nameravamo tekom projekta dokazati več rezultatov, ki so zanimivi tudi v splošnem kontekstu: Vietoris-Ripsov izrek o živcu; nove rekonstrukcije homotopskega tipa iz končnih vzorcev; klasifikacija kontrakcij v metričnih grafih; ipd.

Veda

Naravoslovje

Letni obseg

1,14 FTE

Sodelujoče raziskovalne organizacije <https://www.sicris.si/public/jqm/prj.aspx?lang=slv&opdescr=search&opt=2&subopt=403&code1=cmn&code2=auto&psize=1&hits=1&page=1&count=&id=17922&slng=&search_term=virk&order_by=>

Sestava projektne skupine <https://www.sicris.si/public/jqm/prj.aspx?lang=slv&opdescr=search&opt=2&subopt=402&code1=cmn&code2=auto&psize=1&hits=1&page=1&count=&id=17922&slng=&search_term=virk&order_by=>

Faze projekta

·Razviti rezultate, s katerimi lahko homotopski tip Ripsovih kompleksov dobimo s konstrukcijo živca.

·Odkriti vztrajno homologijo enostavnih prostorov: geodetk, ...

·Raziskati kako geometrijske značilke prostora, npr. geodetke, vplivajo na vztrajno homologijo.

Bibliografske reference projekta

VIRK, Žiga. Approximations of 1-dimensional intrinsic persistence of geodesic spaces and their stability. Revista matemática complutense. Jan. 2019, vol. 32, iss. 1, str. 195-213. ISSN 1139-1138.

VIRK, Žiga. 1-dimensional intrinsic persistence of geodesic spaces. Journal of topology and analysis. [Print ed.]. [v tisku] 2018, vol. , iss. , 34 str. ISSN 1793-5253.

Financerji

Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije