• Reprezentacije kvantnih grup s pomočjo računske linearne algebre
Naročnik: Javna agencija za raziskovalno dejavnost RS
Tip projekta: Bilaterarni projekti
Trajanje projekta: 2016 - 2017
  • Opis

Teorija reprezentacij je veja matematike, ki proučuje abstraktne algebraične strukture preko njihovih elementov kot linearnih transformacij vektorskih prostorov. S pomočjo reprezentacij naredimo abstrakten algebraičen objekt konkreten, saj opišemo njene elemente z matrikami, algebraične operacije pa z matričnim seštevanjem in množenjem. Zato so reprezentacije močno orodje, saj prevedejo težke algebraične probleme na bolj razumljive probleme iz linearne algebre. Razvoj teorije v zadnjem desetletju omogoča modeliranje reprezentacij teoretičnih invariant v kombinatoričnem, računskem in geometrijskem smislu. S tem ima moderna teorija reprezentacij številne aplikacije, tako na širšem področju matematike, kot v drugih znanstvenih vedah. To je razlog, zakaj je teorija reprezentacij postala stičišče številnih inovativnih idej v matematiki, kot denimo v geometriji, linearni algebri, kombinatoriki in matematični fiziki. Navdih za trenutne raziskave prihaja iz povezave teorije reprezentacij simetričnih grup s teorijo reprezentacij Kac-Moodyjeve algebre. Te povezave vključujejo nove algoritme, ki omogočajo študij pomembnih invariant, ki so zelo pomembne v sorodnih področjih matematične fizike, z glavno povezavo s pojavi črnih lukenj.

V naši raziskavi se bomo osredotočili na konstrukcijo novih algoritmov za izračun kristalnih dekompozicionalnih števil za kvantne afine Liejeve algebre. Ker te matrike niso definirane nad obsegi, temveč na kolobarju polinomov, je potrebno razviti drugačne pristope od klasičnih. Izhodišče za naše raziskave bo osnovna predstavitev kvantiziranih afinih Liejevih algeber tipa A, ki so znane kot Fockov prostor. Ker so ti objekti računsko zelo zahtevni, bomo poskušali najti bolj učinkovite algoritme od že znanih za njihovo računanje. Naš pristop k prej naštetim družinam algeber bo vključeval teoretične, kombinatorične, homološke, geometrijske in računske metode. Te predstavljajo kombinacijo klasičnih in inovativnih metod, ki izvirajo iz teorije Kac-Moodyjevih algeber in kvantnih grup.